Por qué no es tan raro el empate de la CUP

La votación de la CUP este domingo causó revuelo por su resultado: 1.515 votos a favor y exactamente 1.515 votos en contra. Era la tercera y definitiva votación de los militantes para definir la posición del partido de cara a facilitar la investidura de Artur Mas como presidente de la Generalitat de Cataluña.

La decisión se presagiaba disputada y lo estuvo. ¿Pero era realmente tan improbable un empate exacto? El cálculo de las probabilidades no es trivial y el resultado depende de las hipótesis y criterios elegidos.

Votantes caóticos

Una opción es asumir que todos los resultados eran igualmente probables. Que la probabilidad de un resultado 3.030 a cero era la misma que la del 3.029 a uno, 3.028 a dos... Había 3.031 resultados posibles y si asumimos que todos eran igual de probables (lo que se llama "equiprobable"), la probabilidad de empate era de un escasísimo 0,033%.

Sin embargo, considerar que todos los resultados son igual de probables no parece razonable. Si se convoca una votación normalmente es porque hay división. Los resultados muy extremos son menos probables porque si el 90% de los militantes tuviesen una misma posición es raro que el proceso de decisión hubiese acabado en una votación.

Votantes divididos

Una segunda opción para el cálculo de probabilidades consiste en asumir que la decisión de cada votante tiene la misma posibilidad de ser un "sí" o un "no". Un votante al azar votará a favor con un 50% de probabilidad y en contra con la misma. Este cálculo se puede formular con una distribución binomial, como ha explicado el programador y doctor en informática Ricardo Galli en su blog.

Esto no significa que estemos asumiendo que la gente vote al azar —obviamente no lo hace—, sino que no sabemos cómo votará una persona al azar. Y en ausencia de otra información asumimos que los dos sentidos de su voto son igualmente probables. Bajo estas hipótesis la probabilidad del empate es un 1,4%.

El empate es de hecho el resultado individual más probable. Un 1.516 a 1.514 es menos probable y un 3.000 a 30 hubiese sido muy raro bajo estos condicionantes.

El empate es mucho más improbable que la suma de todos los resultados a favor o en contra. La probabilidad de que no hubiese un empate era del 98,6%. La distribución es simétrica y la mitad de esos casos eran a favor (49,3%) y la otra mitad en contra (49,3%).

Este segundo cálculo parece más razonable que el anterior pero no es ni mucho menos definitivo. Para empezar estamos asumiendo que los votantes de la CUP estaban indecisos o muy divididos —cosa razonable— pero eso ni ocurre siempre ni estaba garantizado antes de empezar.

Ricardo Galli ha usado una analogía útil: "Se tiran 3.030 monedas. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan 1.515 caras y 1.515 cruces?". Ése es el cálculo que hemos hecho. Pero hay una diferencia: de las monedas sabemos que tienen una probabilidad cercana al 50% de caer de cada lado, pero con los votantes no podemos estar tan seguros.

Las tres rondas

El empate se produjo en la tercera de tres rondas de votación. Se partían de cuatro opciones y cada ronda eliminaba una. En la primera, las dos opciones más votadas lograron un 45,7% y un 47,1% de votos cada una. En la segunda, un 48,7% y un 49,7%. La votación estaba igualada antes de la tercera ronda.

Algunos cálculos han usado las rondas anteriores para decir que el empate era más probable. Es una verdad a medias. Que la votación final acabase en empate era a priori poco probable. Lo que cambió tras las dos primeras votaciones es la información que teníamos: después de dos rondas sabíamos que las preferencias estaban divididas y desde ese momento el empate era ya más probable.

Pensad en una tirada secuencial de cuatro dados. Después de sacar tres seises, la probabilidad de lograr cuatro seguidos es considerable (1/6). Pero eso no impide que sacar seis seises seguidos sea un suceso raro. Sí es cierto que los empates en las rondas anteriores son una evidencia en contra de las teorías conspirativas.

Los votantes ausentes

El universo de votantes de la CUP estaba formado por militantes, simpatizantes avalados por las asambleas locales y miembros de organizaciones que forman parte de Crida Constituent, la organización que concurre en coalición con la CUP. El censo de inscritos para las votaciones era de 3.577 personas pero no todas participaron en cada una de las tres votaciones celebradas el domingo. Hubo 3.040 votos en la primera, 3.042 votos en la segunda y 3.030 votos en la tercera.

Un militante comentó en Twitter que no pudo acudir a la votación horas antes de conocerse el empate.

Pero su presencia durante las votaciones tampoco hubiese sido decisiva. No más que la de las otras 526 personas que pudieron votar y tampoco lo hicieron. Según informa Pol Pareja, periodista de EL ESPAÑOL que estuvo presente durante el proceso, algunos militantes se fueron antes de terminar las votaciones y otros llegaron tarde a las primeras.

¿Es común este tipo de empates?

En general, los cálculos realizados estos días sobre el empate de la CUP han tratado de representar matemáticamente el proceso de votación y estimar la probabilidad del empate. Hay otro camino para responder la misma pregunta: buscar fenómenos parecidos que se repitan muchas veces y observar con qué frecuencia se da un empate.

En EL ESPAÑOL hemos tomado los resultados de las elecciones generales del 20 de diciembre. Nos hemos fijado en los 300 pueblos que tienen entre 3.000 y 4.000 habitantes y nos hemos hecho una pregunta: ¿En cuántos hubo un empate entre los dos partidos que quedaron primero y segundo? Sólo en uno de los 300. La probabilidad es cercana al 0,33%. El pueblo es Faura, en Valencia, y empataron el PSOE y Podemos con 586 votos cada uno.

Las dos votaciones son diferentes. En las elecciones había múltiples candidatos y en la votación de la CUP solo dos opciones. Pero el cálculo ofrece una referencia razonable de lo poco frecuente que es un empate de este tipo. Ofrece un orden de magnitud: estas cosas quizás ocurran cada cien o mil ocasiones.

La probabilidad de una elección

El cálculo de las probabilidades de una elección es un problema complejo y casi filosófico. Las personas tienden a pensar en la estadística como las matemáticas de los sucesos (realmente) aleatorios. Pero pocas veces la usamos para eso. Lo más habitual es que usemos probabilidades para representar incertidumbre: acotar con matemáticas el alcance de nuestra ignorancia.

Pensad en las predicciones meteorológicas. Decimos que mañana lloverá con una probabilidad del 90%. ¿Significa esto que alguien tirará unos datos o generará un número aleatorio? No. La lluvia de mañana está determinada por la presión atmosférica, la fuerza del viento y la interacción de un millón de otros factores. Pero como no conocemos todos esos factores, nuestras predicciones son probabilísticas. Ocurre igual con un dado y aún más con 3.030 votantes.

Por eso es difícil estimar la probabilidad de un evento concreto como la votación del domingo de la CUP. Podemos responder preguntas relacionadas como qué suele pasar en votaciones similares o cómo de raro sería un empate con votantes divididos. También podemos aprovechar un suceso raro para discutir de estadística.