El universo matemático está repleto de enigmas por descubrir. Alguno de ellos tardan meses en descifrarse, otros años, décadas. Muchos se quedan ahí, en el vacío, esperando la llegada de alguien que sea capaz de encontrar la solución. Uno de esos enigmas era el nudo de Conway, un problema que ha cautivado a investigadores y entusiastas de las matemáticas desde 1970, cuando John Horton Conway, uno de los grandes matemáticos del siglo XX, lo halló a raíz de una mutación de otro nudo, el Kinoshita-Terasaka.
El nudo de Conway ha desconcertado a los expertos durante décadas. Su estructura y sus propiedades no se interpretaban del todo. La resolución de este podía tener implicaciones significativas en diversas áreas, como la física cuántica, la biología molecular y la criptografía. Los avances en la comprensión de los nudos y, en particular, de este, podían abrir puertas a nuevos descubrimientos y aplicaciones en estos campos. Era uno de los problemas más desafiantes de la teoría de nudos.
Medio siglo después, y a pesar de los esfuerzos realizados por comprenderlo, nadie había sido capaz de resolverlo. Hasta que apareció Lisa Piccirillo, una estudiante de Matemáticas del Boston College en 2013 y después de la Universidad de Texas, en Austin, Estados Unidos. La joven estadounidense de 32 años logró lo que nadie más pudo: desenredar el misterio del nudo de Conway en tan solo una semana tras 50 años sin hallar la respuesta. Sin embargo, antes de exponer los detalles de su increíble hazaña, hay que explicar los complejos conceptos que conformar el nudo.
Lisa Piccirillo, joven que resolvió el nudo de Conway.
El nudo matemático y la teoría de nudos
En matemáticas, un nudo es una curva cerrada tridimensional que está anudada sin intersecciones. Es decir, que los extremos de la cuerda se consideran unidos de manera que no se pueden deshacer ni girándolos, ni retorciéndolos, ni estrujándolos, ni estirándolos.
"Un nudo es una curva cerrada, esto es, que podemos empezar a recorrer volviendo al punto de partida al cabo de un rato. La circunferencia es el ejemplo más sencillo y se llama nudo trivial. Una curva en el espacio puede anudarse, es decir, estar en una posición en la que no podamos deshacerla y disponerla como una circunferencia", señala a EL ESPAÑOL Fernando Etayo Gordejuela, catedrático de Geometría y Topología de la Universidad de Cantabria y miembro de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales de España.
Los nudos pueden tener diferentes formas y configuraciones que esculpen una gran variedad de tipos de nudos, los cuales se estudian en la rama de las matemáticas conocida como teoría de nudos.
Esta área se ocupa de las propiedades geométricas y topológicas (estudio de aquellas propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen inalteradas por transformaciones continuas) de los nudos, así como de su clasificación y representación. Cada uno de ellos tiene propiedades topológicas y geométricas distintivas que los hacen únicos dentro de su clase de equivalencia.
Dentro de la teoría de nudos, uno de los que más ha costado desenredar ha sido el nudo de Conway, también conocido como el nudo de 11/2. John Horton Conway fue el matemático británico que lo detectó, de ahí su nombre. Falleció en 2020 por la Covid-19.
El británico realizó importantes contribuciones en diversos campos de las matemáticas: entre muchas otras, descubrió el famoso nudo de Conway e inventó el Juego de la Vida, un autómata celular, lo que se puede imaginar como una simulación de un sistema en el que cada celda representa un elemento del propio sistema y las reglas de interacción gobiernan la evolución del mismo a lo largo del paso de tiempo.
Así, el estado de cada celda en un autómata celular se actualiza en función de los estados de sus celdas vecinas y de las reglas de transición. Las celdas pueden tener un número finito de estados posibles: "viva" o "muerta", "encendida" o "apagada"... La evolución de cada celda puede determinarse por los estados de sus vecinos o puede depender de una gran variedad de probabilidades.
En el Juego de la Vida, las celdas están vivas o muertas. Las reglas de transición determinan si una celda estará viva o muerta en la siguiente generación según el estado de sus vecinas. Esto ha sido utilizado como modelo para estudiar fenómenos naturales y biológicos, como la propagación de enfermedades y epidemias.
Sin embargo, la gran proeza y, a su vez, el talón de Aquiles de Conway fue el nudo que lleva su nombre. Él lo descubrió, pero fue incapaz de resolverlo. En este sentido, este nudo es la mutación de otro. Es decir, que ha nacido por la deformación de otro. Esta es una de las principales preguntas de la teoría de nudos: si es posible que la deformación de un nudo produzca otro nuevo. Si la respuesta es sí, significa que ambos son equivalentes. Esto se averigua a través de los conocidos invariantes.
John Horton Conway.
El ejercicio de los invariantes
Los matemáticos intentan determinar si dos nudos son esencialmente iguales o si pertenecen a distintas clases de equivalencia. Para esto, se utilizan diversas técnicas y herramientas, como polinomios de nudos e invariantes. Estos últimos son propiedades matemáticas que no cambian bajo transformaciones, lo que significa que si dos nudos son equivalentes, tendrán los mismos valores de estos invariantes. La teoría de nudos busca desarrollar y emplear invariantes para distinguir entre diferentes tipos de nudos, algunos son el polinomio de Jones, el polinomio de Alexander y el número de cruce.
"Si pesan distinto, los objetos que encierran no serán iguales, si pesan lo mismo, no sabrá si lo que contienen es lo mismo o no. El peso es un invariante"
Fernando Etayo Gordejuela
Etayo Gordejuela simplifica su funcionamiento: "Imagine que tiene dos cajas cerradas iguales, que no puede abrir, que contienen ciertos objetos. Usted quiere saber si los objetos que tienen dentro las dos cajas son los mismos. Lo primero que puede hacer es pesar las cajas. Si pesan distinto, los objetos que encierran no serán iguales, si pesan lo mismo, no sabrá si lo que contienen es lo mismo o no. El peso es un invariante: se mantiene si lo que encierran es lo mismo".
En matemáticas, cuando se habla de clasificar, quiere decir saber si dos objetos son iguales o no, con la noción de igualdad que hayamos establecido. "A veces esto es muy difícil de saber directamente, y entonces se les asocia a los objetos ciertas propiedades que sean más fáciles de calcular. Lo que en el ejemplo era 'pesar', aquí es asociarles ciertos números, polinomios, estructuras matemáticas más complicadas. En la teoría de nudos se asocian muchas propiedades. Se empezó asociando polinomios a los nudos, y si tenemos los dibujos de dos nudos, podemos calcular los polinomios asociados. Si en alguno difieren, los nudos son distintos", subraya el catedrático.
Algunas de las principales características del nudo de Conway es el número específico de cruces: 11. Cada cruce representa un punto donde la curva del nudo pasa por encima o por debajo de sí misma. El número de cruces es una propiedad crucial para clasificar los nudos y determinar su complejidad.
También cuenta con aplicaciones prácticas en campos como la física teórica y la biología molecular. En la primera, los nudos se utilizan para comprender la estructura del espacio-tiempo y en la teoría de cuerdas. En la segunda, para estudiar y comprender la estructura de las moléculas de ADN.
"El nudo de Conway era el único, de once o menos cruces, del que se desconocía si satisfacía una cierta propiedad", apuntala Etayo. Esa "propiedad" era la de ser slice.
Ser o no ser 'slice'
El nudo Kinoshita-Terasaka, del que mutó el de Conway, es un claro ejemplo de lo que se considera "slice" o "cortado". Un nudo slice es aquel que puede ser obtenido como la intersección de un disco en el espacio de cuatro dimensiones con un plano que lo contiene.
"Un nudo es slice si es el borde de un círculo metido en el espacio de cuatro dimensiones"
Esto significa que el nudo puede desatarse o descomponerse en una combinación de segmentos de curvas simples sin intersecciones. Estos cortes se realizan en puntos estratégicos del nudo para deshacer las intersecciones y separar los diferentes segmentos que lo componen.
Simplificándolo: "Nosotros solo podemos imaginarnos visualmente espacios de una, dos o tres dimensiones, pero matemáticamente podemos tratar con espacios de cualquier número de dimensiones. En el espacio tridimensional solo hay cinco poliedros regulares, en el de cuatro dimensiones existen seis, que se denominan politopos regulares. Un objeto de menor dimensión se puede meter en uno de mayor dimensión, doblándolo o no, al igual que un círculo en el espacio de tres dimensiones. Pues bien, un nudo es slice si es el borde de un círculo metido en el espacio de cuatro dimensiones. En el caso de que un nudo sea slice, algunos de sus invariantes tienen que tener cierto tipo de comportamiento. O lo que es lo mismo, un nudo no es slice cuando no es el borde de un círculo", desarrolla Etayo.
Hasta el momento, de los 2.978 nudos con menos de 13 cruces que existían, se conocían si eran o no slice 2.977. De todos menos de uno: sí, era el nudo de Conway, el único que se burló de cada matemático que intentó deshacerlo.
Lisa Piccirillo.
La hazaña de Piccirillo
Desde que Conway introdujo un nudo con 11 cruces, los matemáticos intentaban responder -sin éxito- si era slice o no. Lisa Piccirillo descubrió la existencia de este nudo mientras estaba en una conferencia sobre topología y geometría en 2018, una de sus grandes aficiones, mientras cursaba su doctorado en la Universidad de Texas. Le resultó tan interesante que decidió usarlo como ejercicio mental en su tiempo libre. ¿El resultado? Consiguió resolver el enigma matemático que llevaba 50 años sin solución en tan solo una semana: no era slice.
Piccirillo no le dio mayor importancia, y se lo mencionó a Cameron Gordon, profesor de la Universidad. "Empezó a gritar, '¿Por qué no estás más emocionada? ¡Eso irá a la revista Annals of Mathematic ahora mismo!'", confesaba la estudiante a la revista Quanta. Y, efectivamente, su descubrimiento fue estudiado en 2019 y publicado en 2020 en la revista.
Lisa Piccirillo.
¿Cómo lo hizo? ¿Cuál fue la técnica que usó la estudiante? Sustituir el nudo de Conway por uno que ella mismo creó, donde estudiar si su propiedad era slice era más fácil. Si su nudo era slice, el de Conway también. Finalmente, probó que no lo era. Por consiguiente, el de 1970 tampoco.
De 2019 a 2020, la matemática realizó un posdoctorado en la Universidad de Brandeis. Su hazaña le consiguió una plaza en el Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT), Cambridge, como profesora adjunta.
En 2021 recibió el Premio Maryam Mirzakhani New Frontiers, el cual reconoce a mujeres sobresalientes en las primeras etapas de su carrera como matemáticas. También fue nombrada en 2020 una de las WIRED25 por "Personas que están mejorando las cosas", y en 2022 ganó la beca de investigación del Institute Clay Mathematics.
