Los números de Mersenne

Recientemente, un joven canadiense ha dado con el mayor número primo conocido hasta el momento. Para encontrarlo han hecho falta miles y miles de horas en computadores con múltiples procesadores en paralelo y sofisticados programas matemáticos. Carlos Andrades, presidente de la Real Sociedad Matemática Española, revela para El Cultural la importancia de este descubrimiento y la red de investigación cibernética puesta en marcha para las investigaciones en números primos.

Hace unos días sorprendió la noticia del descubrimiento por parte del joven canadiense Michael Cameron del mayor número primo conocido hasta el momento. Se trata del que aparece reproducido en la ilustración que acompaña estas líneas: exactamente el 2 elevado a 13.466.917 -1, que tiene la friolera de 4.053.946 dígitos. Para hacernos una idea de su tamaño podemos transformarlo a dimensiones que nos resulten más familiares. Si estimamos que una novela de formato normal tiene unos 34 renglones por página y que en cada renglón hay unos 70 caracteres, resulta que en cada página de la misma caben 2.380 caracteres, de modo que sólo para escribir nuestro número completamente desarrollado, obtendríamos una novela de 1.704 páginas, sin ni siquiera un punto y aparte. ¡Un ladrillo considerable, que dudo mucho de que se convirtiera en un best seller!

Número intratable
Si este número es, pues, intratable, ¿qué sentido tiene dedicar horas y horas de esfuerzo y cálculos (naturalmente hechos por computadores) para su descubrimiento, aparte del de figurar en el libro Guinness de récords por una temporada? Esta pregunta tiene aún mayor trascendencia si pensamos además que lo que sí es absolutamente seguro es que este número no es el mayor primo que existe, ya que sabemos a ciencia cierta que hay infinitos números primos, y, en particular, infinitos números primos mayores que nuestro protagonista. Que hay infinitos números primos aparece ya rigurosamente demostrado en los Elementos deEuclides, nada menos que en el siglo III antes de Cristo. ¿Por qué habiendo infinitos números primos resulta tan difícil encontrarlos? Estamos justo delante de uno de los problemas fundamentales de la Teoría de Números, al que han dedicado innumerables esfuerzos muchos de los mejores matemáticos de la historia, sin que esté todavía resuelto: me refiero a la cuestión de conocer la distribución de los números primos dentro de la sucesión de todos los números.

Recordemos que un número se dice que es primo si sus únicos divisores son el 1 y él mismo. Por ejemplo, 2, 3, 5, 7, 17, 23, etc. son números primos, mientras que, por el contrario, 4, 6, 8, 9, 10... no lo son.

Una aguja en un pajar
La importancia de los números primos estriba en que constituyen los bloques básicos para la construcción y el manejo de los números, ya que todo número se descompone de modo único como producto de números primos. De ahí el interés por conocerlos. Ahora, si con un poco de paciencia construimos la lista de los primeros números primos, vemos que hay 4 primos menores que 10, 15 menores que 50, 25 menores que 100, 168 menores que 1.000, etc. Por tanto la proporción de primos menores que un número N va disminuyendo conforme éste crece, de modo que, comparativamente, resulta mucho más difícil encontrar números primos grandes por azar. Así, la proporción de primos entre el 1 y el 10 es del 40%; entre 1 y 100 es del 25%; entre 1 y 1.000 del 16,8%, etc. Se sabe también que entre 1 y N hay aproximadamente N/ln (N) números primos. Así, la probabilidad de que un número tomado al azar entre 1 y 100.000 sea primo es del 7% y la que un número del tamaño de nuestro protagonista tomado al azar sea primo es del 0,00001%. ¡Más difícil todavía que encontrar una aguja en un pajar!

Una vez descartada la posibilidad de encontrar números primos por casualidad, surge un interés innegable por encontrar métodos prácticos de fabricación de primos (especialmente de primos grandes). Desgraciadamente no existen, pero uno de los intentos más notables se debe M. Mersenne, un jesuita francés de los siglos XVI y XVII quien observó que los números de la forma 2elevado a n -1 son primos para los valores de n= 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31... (todos ellos a su vez primos) y se preguntó si efectivamente entre los números fabricados de esta forma (que crecen rapidísimamente) habría muchos primos. Desde entonces, los números primos que tienen esta forma, como el descubierto por Cameron, reciben el nombre de primos de Mersenne. Sin embargo aún no sabemos responder a las preguntas inciales: por ejemplo, no sabemos si hay infinitos números primos de esta forma, y por consiguiente no sabemos si habrá un primo de Mersenne mayor que nuestro protagonista de hoy, aunque entre los matemáticos estamos convencidos de que seguramente será así. Y todo ello a pesar de que, contando el recién descubierto, tan sólo se conocen 39 primos deMersenne.

El legado de Mersenne
¿Qué tienen de especial los números de Mersenne para prestarles tanta atención? Bueno, planteemos un problema un poco más general. ¿Cuál es la forma de decidir si un número es o no primo? Teóricamente es muy simple: basta ir comprobando si los números menores que él lo dividen, pero este sistema es tan seguro como impracticable. Por ello se han desarrollado tests de primalidad que comprueban si un número dado es o no primo. Estos tests, en general complicados, son considerablemente más sencillos para familias de números de formas especiales como por ejemplo los números de Mersenne. De aquí proviene la estrategia para la fabricación de primos de Mersenne: se va incrementando el exponente n (siempre con valores primos) y se comprueba si el resultado 2elevado a n -1 es primo aplicando el test de primalidad específico para estos números. Si el resultado es afirmativo ya tenemos un nuevo primo de Mersenne; si esnegativo probamos con el siguiente n. Esto se hace dentro de un vasto programa conocido como GIMPS y puesto en marcha por el matemático George Woltman y en el que colaboran numerosos aficionados. Cualquiera puede ser el descubridor del próximo primo récord: basta con que se descargue de la página web www.mersenne.org el programa desarrollado por él y lo deje trabajando en su ordenador en los tiempos muertos en los que el usuario no lo utilice. Exactamente así (en su cuarto intento), fue descubierto el número de Cameron y los anteriores ya destronados: 2 elevado a 6972593 -1 en 1999, 2 elevado a 3.021.377 -1 en 1998, etc. Para la fabricación de cada uno de ellos se precisan horas y horas de cálculos en computadores con múltiples procesadores en paralelo y sofisticados programas matemáticos. Para animar a los internautas hay un premio de100.000 dólares para la persona que obtenga el primer número primo superior a los diez millones de dígitos.

Valor del descubrimiento
Y con ello volvemos a la pregunta del comienzo de estas líneas. ¿Tiene sentido este esfuerzo? Permítanme compararlo con situaciones más familiares. ¿Tiene sentido la lucha por recortar el récord de los 100 metros en unas centésimas de segundo? ¿O los miles de millones destinados a dar vueltas cada vez más rápidas en los circuitos de fórmula 1? Dejando de lado el valor intrínseco que se quiera dar a estas actividades (capacidad de superación, avance del conocimiento) estas situaciones límite sirven de banco de pruebas para motores y productos que luego serán incorporados a nuestra vida cotidiana. Lo mismo sucede con los grandes primos. Su descubrimiento supone un escenario inmejorable para la comprobación de la eficacia de los algoritmos más potentes de primalidad y factorización en teoría de números y computación. Porque lo que quizás mucha gente desconoce es que los grandes primos (de alrededor de 250 dígitos, y por tanto casi insignificantes comparados con nuestro protagonista) son utilizados actualmente en aspectos esenciales de nuestra vida: el sistema de criptografía de clave pública que permite la comunicación segura y firma electrónica, cuya ley acaba de ser aprobada por el Gobierno, se basa precisamente en la imposibilidad práctica, con los conocimientos actuales, de factorizar un número que sea producto de dos de estos grandes primos. El entrenamiento y perfeccionamiento de los algoritmos en situaciones extremas como los primos de Mersenne constituye un banco de pruebas inigualable para el desarrollo de los mismos, que en definitiva representarán, cada vez en mayor medida, nuestra seguridad a corto plazo. La Teoría de Números -y en particular los primos- siempre ha fascinado a la mente humana. Quienes quieran curiosear más quedan invitados a consultar la red en www.utm.edu/ research/ primes.