Desde los años 70, el método general más rápido para calcular polinomios de matrices "estaba imbatible". Era el sistema creado por los profesores Michael Paterson y Larry Stockmeyer que ahora un grupo de investigadores de Valencia lo mejora para acelerar los cálculos.
Jorge Sastre, uno de los fundadores de este Grupo de Computación Científica de Altas Prestaciones, HiPerSc, en la Universidad Politécnica de Valencia, celebra este descubrimiento en el que siguen trabajando para conseguir que se acelere más. Una solución que llegó en la sala de espera del aeropuerto de Sicilia.
¿Para qué era necesario el sistema de Paterson y Stockmeyer? Como responde Sastre, el cálculo de polinomios de matrices es muy costoso por el número de operaciones que son necesarias. A facilitarlo lo contribuyeron estos doctores, el primero de la Universidad de Warwick en Inglaterra y el segundo desde el MIT de Estados Unidos, respectivamente.
"La formulación del 73 intentaba minimizar o conseguir el mínimo número de multiplicaciones de matrices", razona Sastre. Desde entonces, añade, "esa formulación es la que se utilizaba para calcular los polinomios de matrices de manera rápida".
Gracias a los polinomios de matrices se pueden calcular funciones de matrices como, por ejemplo, el coseno de una matriz, la exponencial de una matriz, el logaritmo de una matriz y muchas otras. Y con estas funciones se pueden "resolver muchos problemas de la física, la economía, química o biología". Y eso llevado hasta la mecánica cuántica, redes, robótica, inteligencia artificial y un larguísimo etcétera, enumera el catedrático valenciano.
Pero la citada complejidad hacía que desde hace cinco décadas "se preferían otros métodos para calcular funciones de matrices porque eran más rápidos que los métodos basados en el sistema de los polinomios".
Esa es la tendencia que pretenden romper desde el HiPerSc de Valencia. "Demostré que era posible calcular los polinomios de otra forma que ahorraba multiplicaciones de matrices respecto del método de Paterson Stockmeyer aunque había que resolver ecuaciones de cierta complejidad", destaca Sastre.
"La cuestión es que se basa en algo similar a que si coges una matriz y la multiplicas por sí misma te sale al cuadrado y así", intenta explicar para hacerlo más claro. "Si la multiplicas otra vez por sí misma te sale la matriz a la cuarta y si lo haces otra vez por sí misma te sale la matriz a la octava. Pero no están todas las matrices que hacen falta para calcular el polinomio. Ese primer caso en el que me di cuenta de que se podía conseguir más que con Paterson Stockmeyer se basa en multiplicar polinomios en lugar de matrices solas".
La propuesta valenciana
El método de Paterson Stockmeyer, con tres productos de matriz, consigue calcular hasta un polinomio de orden seis, pero con tres productos de matriz multiplicando polinomios de grado 4 se puede conseguir hasta un polinomio de grado ocho. "Y este es el que se puede extender bajo ciertas condiciones consiguiendo un ahorro de un producto de matriz para cualquier polinomio y lo hemos ido incrementando hasta en dos productos de matriz de ahorro".
Poner el foco en los polinomios en lugar de las matrices es lo que ahora, una vez propuesto, ve sencillo. "Es lo que le digo a mis alumnos: cualquier ingeniero puede entender la solución de otro. Pero ponte y hazlo tú. Una vez está hecho es súper fácil, mira qué maravilla. Pero han pasado casi cincuenta años para que se nos ocurra esto".
De hecho, el proceso de revisión que ha tenido que pasar con esta idea no ha sido fácil. "El artículo fue rechazado en su primera versión en febrero de 2016" por los expertos que se encargan de comprobar la propuesta enviada. En mayo de ese mismo año, mientras estaba en el aeropuerto de Sicilia por otro de los proyectos en que trabaja, se puso "a hacer numeritos" como le decían sus compañeros.
El tiempo de espera al avión dio sus frutos y envió el artículo retocado. Esta vez los revisores pedían cambios. Pero los comentarios que aportaban los revisores en cada ocasión no le frenaron. "Las revisiones eran muy meticulosas y detalladas, cosa que agradezco muchísimo porque ahora el artículo es súper detallado y preciso". Eso sí, como concede, "aunque me ayudaron mucho estas revisiones, me hicieron sudar tinta".